Určitě jste všichni viděli krátké video o učitelce, která se pokusila vysvětlit prvňáčkovi, že 2 + 2 není 22, ale 4. Příběh se odehrává v Americe. Celé je ke stažení zde:
https://www.youtube.com/watch?v=foq0bTOYEI0
Mimo jiné – vynikající český dabing. Celé trvá necelých deset minut, ale zážitek je silný. Osobně jsem prožíval pocit bezmocnosti a nespravedlivosti společně s hlavní hrdinkou, zkušenou postarší učitelkou. Nakonec vše dopadne dobře.
Příběh "nastavuje zrcadlo" současné době a dost odpovídá tomu, jak rozpad rozumu v Americe (u nás "úpěšně" následujeme) nedávno popsal Alexandr Tomský, viz:
https://radimvalencik.pise.cz/10617-alexander-tomsky-amerika-motivujici-vzor.html
Příběh má však ještě jednu rovinu, která zůstala dost nepovšimnuta a která má možná ještě větší význam, alespoň pro přemýšlivé lidi. Učitelka se totiž dopustila chyby. Měla se záčka a pak i všech ostatních, kteří ji perzekuovali, zeptat: "Za jakých předpokladů může platit 2 + 2 = 22 ?".
Žáček by to asi nevěděl, ale mohla v něm objevit talent. Někdy jsou to právě lidé, kteří na první pohled jsou "těžce chápaví", ale ve skutečnosti jsou schopni odhalovat skryté předpoklady toho, co se jim sděluje, a tím významně přispívat k rozvoji poznání. Během svého pedagogického působení jsem řadu z nich odhalil. Je to jako s pozemky. Jeden je úrodný a sklidíte na něm metráky kukuřice. Ještě cennější jsou ty, na kterých skoro nic neroste a i vinná réva se musí svými kořeny prodírat hodně hluboko, aby si zajistila vodu a živiny. Právě takové pozemky jsou však nejcennější, protože víno z nich má neopakovatelnou chuť. S předpoklady pro rozvoj schopností, které člověk dostane od přírody, je to stejné.
Ale vraťme se k našemu příběhu. Postupně si ukažeme, o co jde:
Důležitá poznámka: V následujícím postupu je chyba, takže vše je trochu jinak. Ale poučná chyba a nechávám ji tam. Upozornil mě na ni Maxim, viz komentář, který stojí za přečtení. V odpovědi Maximovi jsem také upřesnil řešení problému, které je ještě více fascinující, než jsem si myslel.
· Patrně všichni znáte dvojkovou soustavu, ve které číslo vyjádřené v desítkové soustavě číslicí 2 vyjádříme 10. V této soustavě by 2 + 2 = 4 bylo vyjádřeno takto: 10 + 10 = 100.
· Zajímavější je to ve trojkové soustavě. Zde platí 2 + 2 = 11.
· Ve čtyřkové soustavě je 2 + 2 = 10.
· V pětkové a vyšších soustavách již platí 2 + 2 = 4.
Může však existovat nějaká soustava, ve které platí 2 + 2 = 22?
Odpověď není tak jednoduchá.
Když už jsem se rozhodl napsat tento článek, protože řešení jsem měl už v hlavě, narazil jsem na článek v angličtině, který na tento problém také upozornil. Trochu jsem si oddychl, když jsem zjistil, že autor dává jiné řešení, než jsem našel já. Takže nejdříve moje řešení (algebraické):
Rozlišíme základ soustavy, číslice a čísla.
Pořadí číslic v nějakém čísle odpovídá počtu mocnin základu. Například v naší desítkové soustavě číslo:
· 22 čteme tak, že máme dvě jednotky (jednotka je deset na nultou) a dvě desítky (desítka je deset na prvou).
· Jiné číslo, třeba 158, bude součet 8 jednotek, pěti desítek a jedné stovky, tj. deseti na druhou atd.
Základem nemusí být celé číslo a číslic může být libovolně. Tak se pokusme takové číslo, které by bylo základem, najít. Muselo by pro něj platit:
2x2 + 2x = 22
To je jednoduchá kvadratická rovnice, kterou lze ještě zjednodušit (x2 + x = 11).
Jejím řešení v oboru kladných čísel je 2,854... (jedná se o neperiodické iracionální číslo).
Při tomto základu lze bez rozpaků psát a kokonce i říkat 2 + 2 = 22.
Autor článku v angličtině jménem Lu Pan (podle foto patrně Číňan žijící v USA) našel jednodušší, ale odlišné řešení založené na přesnější interpretaci konvence, se kterou symboly používáme. Jeho článek je také skvělý a navíc převyprávěl obsah videa. Uveřejňuji jeho překlad, od svého textu odlišuji proložením a barvou:
Myslím, že dříve, než je dám, stojí za to uveřejnit podstatnou část překladu článku, protože je příkladem obhajoby racionality a kritického myšlení. Ostatně lépe bych to nenapsal (od svého textu odlišuji písmem a jeho barvou):
Jsem otec dvou malých dětí a myslím, že každý, včetně učitele ve filmu, má na víc.
Ve filmu se mluví o malém dítěti, které si myslí, že 2 + 2 = 22, a učitelka říká, že je to špatně a že to má být 4. To se mu nelíbí. Rodiče a veřejnost kritizují učitelku z nacismu, že jen její odpovědi jsou přijatelné a ostatní jsou špatné. Na konci filmu je učitelka propuštěna ze školy a dostane dvě výplaty po 2 000 dolarech. Ředitel říká, že 2 000 + 2 000 = 4 000 dolarů. Učitelka říká: "Špatně! Mělo by to být 22 000 dolarů."
2 + 2 může být 22.
Symboly jako "1", "2" a "jablko" mají smysl jen proto, že jim přiřazujeme významy. "2" může být symbolem v jednočíselné číselné soustavě, v takovém případě je správně 2 + 2 = 22. V tomto případě 22, ať už se vyslovuje jakkoli, znamená dva. "Jablko" může být použito k označení předmětu na obrázku níže.
"Jablko" znamená pouze jablko, protože se na této definici všichni shodneme.
2 + 2 se rovná 4 pouze za určitých podmínek a 2 + 2 rovnající se 22 není špatně za všech možných podmínek. To mi připomíná Newtonovy pohybové zákony, protože tyto rovnice jsou přesné v mnoha případech, ale ne ve všech. Zkuste si představit učitele, který říká mladému Einsteinovi, že stačí neustále tlačit krabici a nakonec může být rychlejší než rychlost světla. Místo toho, abyste dítěti jen řekli, že 2 + 2 = 22 je špatně, byla by to ideální příležitost naučit ho něco o číselné soustavě.
Na konci filmu učitel řekne, že 2 000 + 2 000 je 22 000, což je něco jiného než když dítě řekne 2 + 2 = 22, protože "2 + 2" je abstraktní výraz, ale 2 000 není. Číslo na bankovce je desetinné číslo, na kterém se musí všichni shodnout, aby peníze fungovaly. Můžete se rozhodnout, že číslo "100" na stodolarové bankovce je ve skutečnosti dvojkové a že je to vlastně osmidolarová bankovka, ale je to užitečné pouze tehdy, když se na tom všichni shodnou.
Samotným základem komunikace je, že se více stran na něčem dohodne, aby se začalo, např. slovo "jablko" znamená jablko. A cílem komunikace obvykle je, abychom konsensus rozšířili. Kdo na samém začátku rozhodl, že se jablka nazývají "jablka"? Někdo je musel pojmenovat jako první a ostatní se přidali. Proto při komunikaci přijímáme spoustu předpokladů, např. "jablka" znamená jablka, všichni používají desetinná čísla atd. Tyto předpoklady jsou obvykle v pořádku a komunikace je díky nim mnohem efektivnější. Když se však dostaneme do konfliktu, měli bychom své předpoklady přehodnotit.
Kdybych byl učitelem, měl bych se zamyslet nad tím, zda jsem něco nepřehlédl od rodičů? Může být v některých případech 2 + 2 = 22 (odpověď zní ano). Nevytvářím si domněnky, ale nevyjadřuji se k nim jednoznačně? A totéž platí pro rodiče a další osoby ve filmu.
Když dojde k neshodě, je lákavé udělat z lidí na druhé straně hlupáky a upoutat pozornost. Je těžké komunikovat a pochopit rozdíly, které máme, a předpoklady, které vytváříme. To první stále rozděluje zemi a lidi. To druhé lidi a komunity spojuje.
Celé i s výstižnými obrázky v dobré angličtině zde: https://blog.the-pans.com/comments-on-alternative-math/
Závěr Lu Panova článku tesat do skály a pozlatit. Co rozeštvává lidi? Kromě jiného (těch, kterým se to hodí, a mediálního mainstramu, který ve většině zemí světa plní jejich vůli) jsme to my sami. Neochotou myslet a vzájemně se obohacovat vyjasňováním předpokladů platnosti tvrzení. Ti, kteří takovou pozici obhajují, ohrožují náš svět. Proto ještě jednou:
|
Když dojde k neshodě, je lákavé udělat z lidí na druhé straně hlupáky a upoutat pozornost. Je těžké komunikovat a pochopit rozdíly, které máme, a předpoklady, které vytváříme. To první stále rozděluje zemi a lidi. To druhé lidi a komunity spojuje. |
Na závěr či spíše pod čarou: Nehledejme pevný bod ani v matematice. Náš svět je nesmírně bohatý a nikdy nic plně "nevypředpokladujeme". Vždy bude co poznávat. Tím je však náš svět současně nádherný.