Řešení hry NIM. Hra typu Stonožka a některé důležité jevy, s nimiž se u těchto her setkáváme.

 

Celkem jsem od 25.1.2013 uveřejnil na tomto blogu více než 40 dílů seriálů, který doporučuji stáhnout a dle možností si postupně osvojovat teorii her jako bojové umění. Stojí to zato. A postupně se naučíme ještě víc.

 

Řešení úlohy k zamyšlení 2(16.1) – hra NIM se třemi hromádkami a 2 sirkami v každé

Ten, kdo začíná, stojí před jednoduchým úkolem. Pokud vezme 2 sirky z jedné hromádky, nemá jeho protivník šanci. Jinými slovy odstraněním jedné hromádky převedeme hru do hry, jejíž řešení již známe, přičemž v ní ten, kdo začíná, prohrává.

Tato úvaha je klíčem k pochopení cesty k řešení hry s libovolným počtem hromádek a libovolným počtem sirek v každé z nich.

 

Hra typu Stonožka

Jednou z dalších her, které stojí zato věnovat pozornost, je hra typu Stonožka. Název je odvozen od vnější podoby grafu, viz Graf 1. Hra začíná tím, že Hráč 1 má možnost přijmout určité rozdělení, které je pro něj výhodné a nevýhodně pro Hráče 2, konkrétně v našem případě 3:1. Pokud je nepřijme, stojí před obdobnou volbou Hráč 2 – buď okamžitě získá výplatu 6 a Hráč 1 pouze 2, nebo hra bude pokračovat dál.

Pokud budou hráči pokračovat, bude částka, kterou získají, postupně významně růst. Každý hráč tedy stojí před dilematem – má souhlasit s okamžitou výhodou, nebo riskovat, že bude mít nižší výhru (pokud druhý hráč přijme rozdělení a hru tím ukončí), ale mít naději na mnohem větší?

Pokud má hra jen několik kol a víme kolik (například jako v našem případě 6), pak lze očekávat, že Hráč 1 v 5. kole rozdělení přijme. Zajistí si tím totiž výhru 48 oproti 32, pokud by odmítl a nechal hru pokračovat. To ovšem ví i Hráč 2. Proto již ve 4. kole přijme výhru 24, jinak totiž může předpokládat, že bude mít jen 16.

V logice věci je pak zřejmé, že hra skončí velmi záhy – racionálně uvažující Hráč 1 přijme již první návrh.

 

Graf 1: Hra typu Stonožka

 

Zajímavé na dané hře je i to, že výplaty v jednotlivých kolech v této hře odpovídají tomu, co by hráči mohli získat ve hře typu Vězňovo dilema, pokud by tuto hru hráli opakovaně. Z toho vyplývá, že pokud mají ve hrách typu Vězňovo dilema s opakováním hráči spolupracovat, je to možné jen tehdy, když:

- Vědí, že budou moci příslušnou hru opakovat mnohokrát.

- A současně žádný z nich nesmí vědět, které kolo bude poslední.

 

Poznámka

To, co jsme uvedli, je velmi zjednodušeným popisem uvedené situace. Vede k řadě interpretací, z nichž některé mohou být zavádějící. Pro přesný popis her uvedeného typu potřebujeme složitější aparát, ke kterému se dostaneme v dalších pokračováních.

(Pokračování)