Uveřejňuji druhou část vybranou z diplomové práce připravené na Vysoké škole finanční a správní. Autorkou je Ganna Slobodian a název je Teorie her v marketingu.

Práce je zajímavá jednak tím, že matice, kterou hru popisujeme, je případem hry typu Manželský spor. Autorka k řešení použila metodu reakčních křivek. Nyní již pasáže přebrané z práce:

 

Abychom mohli vytvořit graf řešení na našem příkladu, musíme provést toto zjednodušení:

Π1 = 2pq+10p(1-q)+8(1-p)q+3(1-p)(1-q) = -13pq+7p+5q+3= -p(13q-7)-5q-3

Π2 = 2pq+8p(1-q)+10(1-p)q+3(1-p)(1-q) = 13pq-7q-5p-3 = q(13p-7)-5p-3

Tučné výrazy v závorce rozhodují o tom, zda se příslušnému hráči vyplatí zvolit minimální či maximální pravděpodobnost, s níž bude hrát svou první či druhou strategii.

13q-7 = 0;

q = 7/13

Stejně platí i pro druhého hráče:

13p-7 = 0;

p = 7/13

 

Hledejme nejlepší odpovědi Firmy X na různé hodnoty q:

- Pokud 0<q<7/13, pak Π1 (p, q) je pro pevnou hodnotu q lineární funkce se zápornou směrnicí, která je klesající. Největší hodnoty proto bude nabývat pro nejmenší možnou hodnotu p, tedy pro p=0; v tomto případě platí: R1(q)=0.

- Pokud q=7/13, pak Π2 (p,7/13)=0 je konstantní funkce, pro kterou je každá hodnota zároveň největší i nejmenší – Firma X je proto indiferentní mezi oběma strategiemi, R1(7/13)=(0,1).

- Pokud 7/13<q<1, pak Π1 (p, q) je pro pevnou hodnotu q lineární funkce s kladnou směrnicí, která je rostoucí. Největší hodnoty proto bude nabývat pro největší možnou hodnotu p, tedy pro p=1; v tomto případě platí: R1 (q)=1.

Celkem tedy:

R1(q) = 0                     pro 0<q<7/13

R1(q) = (0,1)                pro q = 7/13

R1(q) = 1                     pro 7/13<q<1

 

Podobně pro druhého hráče bude:

R2(q) = 0                     pro 0<q<7/13

R2(q) = (0,1)                pro q = 7/13

R2(q) = 1                     pro 7/13<q<1

 

Teď již můžeme namalovat reakční křivky.

Obrázek č.18 – Reakční křívky prvního a druhého hráče

 

 

Zdroj: vlastní výtvor

Na obrázku č.18 vidíme, že zde se reakční křivky protínají v bodu (7/13, 7/13), což je námi nově objevená Nashova rovnováha ve smíšených strategiích. To znamená, že Firma X a Firma Y budou  vyrábět pleťový krém s pravděpodobností 7/13, resp. čistící pleťovou vodu s pravděpodobností 6/13.

Podívejme se nyní, jakou výplatu (v) bude mít Firma X, pokud bude hrát svou smíšenou strategii. Tu spočítáme, pokud dosadíme hodnoty p = 7/13 a q = 7/13 do výrazu

2pq+10p(1-q)+8(1-p)q+3(1-p)(1-q), což nám dá:   

v = -49/13+49/13+35/13+3=74/13 nebo 5 a 9/13, což je cca 5,7.

 

Z toho vyplývá, že pokud Firma X ze 100 % bude vyrábět 54 % (7/13) pleťového krému a 46 % (6/13) -  čistící pleťovou vodu, pak bude mít optimální výplatu (zisk), a to se bude rovnat cca 5,7.

Pokud Firma X zvolí jinou smíšenou strategií, tak bude riskovat snížením výplaty.

Výsledky lze interpretovat takto:

1. Pokud Firma X bude vyrábět oba výrobky současně a přitom nezvýší náklady (nepřijde o úspory z rozsahu), pak její produkci by mělo tvořit 7/13 výroby pleťového krému a 6/13 výroby čistící pleťové vody.

2. Pokud by smíšená produkce (odpovídající smíšené strategii, kterou Firma X získala) znamenala významné zvýšení nákladů, rozhodli by se v souladu s dosaženým výsledkem k produkci jednoho výrobku – a to na základě nahodilostního mechanismu právě v poměru 7/13 výroby pleťového krému.

Pro zvýšení své výplaty by Firma X chtěla spolupracovat se svou konkurencí a proto bychom museli k analýze použít aparát kooperativních her, konkrétně pak řešit Nashův vyjednávací problém. To je však již zcela jiná úloha, která přesahuje rámci této diplomové práce.

 

(Pokračování)